Zlatý rez
Zlatý rez
Zlatý rez, zlatý podiel alebo božský rez (lat. sectio divina) je iracionálne číslo s mnohými zaujímavými vlastnosťami. Geometrické tvary odvodené od tohto čísla sa v európskej kultúre považujú za esteticky veľmi príťažlivé a mnohé geometrické proporcie v prírode sú odvodené od tohto čísla. Čo teda vlastne zlatý rez je? Označuje sa gréckym písmenom φ(menej často aj gr. písmenom τ) a rovná sa približne 1,618034. Zlatým rezom sa myslí rozdelenie úsečky na dve časti, ktorých dĺžky sú v konkrétnom pomere. Lepšie povedané, pomer dĺžky väčšej časti takto rozdelenej úsečky ku dĺžke menšej časti je rovnaký, ako pomer dĺžky celej úsečky k dĺžke väčšej časti. Tento pomer je konštantný pre všetky úsečky( nezáleží na ich pôvodnej dĺžke) a nazýva sa zlaté číslo. Je pre nás tak všadeprítomný a samozrejmý že si jeho výskyt nevšímame. Mnohí odborníci premýšľajú o tom, od kedy ľudstvo pozná zlatý rez. Niektorí sa domnievajú, že stopy po zlatom reze možno badať napr. v Egyptských pyramídach. Je možné, že už Pythagoras alebo jeho žiaci boli so zlatým rezom oboznámení, keďže zlatý rez pravdepodobne používali pri konštrukcii pentagramu. Síce si starí Gréci nedokázali pomer zlatého rezu vypočítať, ale vedeli ho narysovať. Pre pytagorejcov, ktorí si za znak svojho tajného bratstva zvolili pentagram, bolo odhalenie presnej konštrukcie otázkou odhalenia ďalšej hlbokej pravdy kozmu. Pentagram (penta - päť, gramov - čiara) čiže päťcípa hviezda, nakreslený jedným ťahom, má síce chybu krásy, pretože ju križujú čiary a oddeľujú ramená od stredu, ale delí vzdialenosť medzi vrcholmi práve v pomere zlatého rezu. Pentagram mali Gréci vo veľkej úcte, pretože názorne predstavoval to, čo nevedeli vyjadriť číselným pomerom. Zákonitosť, ktorá sa v pentagrame ukrývala, z neho urobila tajomný symbol dokonalosti vesmíru. Prvý kto jednoznačne definoval zlatý rez bol Euklides vo svojom diele Základy okolo roku 300 pred Kr. Zlatý rez nazval ako "krajný a stredný pomer". V roku 1509napísal Luca Pacioli svoje dielo Divina Proportione, ktoré skúma zlatý rez z pohľadu matematiky ale i umenia a metafyziky a bolo ilustrované samotným Leonardom da Vincim. Luka Pacioli vo svojom diele prevzal niektoré časti od maliara Piera della Francescu, ktorého obdivoval. Zlatý rez sa prekvapujúco objavuje v prírode, umení a matematike.
Fibonacci a jeho postupnost
Stredoveký matematik Fibonacci (Leonardo Pisano) prispel svojim výpočtom (Fibonacciho čísla) k matematickému podloženiu zlatého rezu. Údajne pritom vychádzal z legendy o počiatku ľudského rodu. Vytvoril číselnú postupnosť vyjadrujúcu nárast generácií: dospel k tomu, že v prvej generácii bola jedna dospelá dvojica, v druhej už 2 dvojice, mladá a dospelá, v tretej generáciám zase dve dospelé a jeden mladý pár. Celkom mu potom vyšlo, že počet dospelých párov rastie nasledovne:
1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, ...
Pravidlo je jednoduché, prvé dva členi sú dané, jednotka a jednotka, každý ďalší člen je potom súčtom dvoch predchádzajúcich členov. Rad čísiel pred ním sa vyznačoval zvláštnosťou. Pomer dvoch ich nasledujúcou členov:
1 / 1, 2 / 1, 3 / 2, 5 / 3, 8 / 5, 13 / 8, 21/13, 34/21, 55/34, 89/55, 144/89, 233/144, 377 /233, ... sa neodvratné blížil k číslu 1.61803398 ... Fibonacci toto číslo nazval božská proporcia, pretože z legendy vyplývalo, že množiť sa podľa tohto pomeru zostalo výsadou bohovi. Termín "božská proporciám alebo božský pomer" (divina proportia) bol použitý aj vo vzťahu k dielam spomínaného Leonarda da Vinciho.
Zlatý rez v prírode
Zlatý rez v prírode predstavuje základný stavebný kameň ako rastlín tak aj živočíchov. Použitie zlatého rezu v prírode by som chcel bližšie ukázať na príklade logaritmickej špirály ktorej príkladom v prírode sú napr. zobáky, zuby, rohy, parohy alebo schránky mäkkýšov. Jakub Bernoulli (1654-1705), najstarší z rodiny vynikajúcich učencov, sa okrem iného zaujímal o zákonitosti kriviek. Logaritmická špirála, ktorú krátko predtým objavil francúzsky filozof a matematik René Descartes, ho priamo fascinovala. Napísal o nej: "... mohla by byť symbolom podobnosti potomstva a rodičov, preto chcem, aby bola vyrytá do môjho náhrobného kameňa s nápisom Eadem numero mutata resurget" (Voľne preložené: Zo zmien sa znovu zroďuje tá istá). Jeho prianie sa vyplnilo v Bazileji roku 1705. Čím mohla elegantná krivka natoľko upútať? Bernoulli neváhal a označil ju za Spira mirabilis - neobyčajná, obdivuhodná špirála. Táto špirála nemení tvar, rastie rovnako do dĺžky aj do šírky. Tak rastú živočíchy a rastliny. Je to jediná krivka, ktorá rastie tak, že zachováva tvar a pomer častí. Asymetrická krivka vyjadruje symetrický rast. Nie je v tom rozpor? Začali sa hľadať dôkazy pre i proti. Zistilo sa, že rast človeka nie je úplne rovnomerný, niektoré časti môžu rásť rýchlejšie než iné, napríklad pomer dĺžky častí ruky je u detí iný než u dospelých. A čo vlasy a nechty? Tie rastú jedným smerom a vieme, ktorá časť je staršia. Ale ani vlasy ani nechty nie sú živé .Keby boli, museli by nám u holiča dať najskôr narkózu a až potom strihať. To nám dokonale spresňuje, aký rast logaritmické špirála vlastne vyjadruje. Rast neživých častí živého tvora. Môžu to byť zobáky, zuby, rohy, parohy alebo schránky mäkkýšov. Niekedy nás ani nenapadne, že to, čo pred sebou vidíme, je časťou špirály. Hlavne nie vtedy, ak ide o rýchlo rastúce špirálu. Čím viac sa jej zakrivenie líši od zakrivenia kružnice, tým menej vám bude pripomínať špirálu. Mierne ohnutý sloní kel i husto točené ulity ulitníka sú v tomto ohľade príbuzné. Turovitým kopytníkom, medzi ktoré patrí aj náš hovädzí dobytok a ovce, rastú do špirály rohy. Nebýva to vždy na prvý pohľad zreteľné, lebo obyčajne sú len časťou jedného závitu špirály, ale niektoré sú priamo ukážkou priestorovej logaritmickej špirály, napr africký kudu.
Ďalšie zaujímavosti týkajúce sa zlatého rezu v prírode:
- priemer každej jednej špirály lodienky je voči priemeru nasledujúcej špirály v pomere 1,618,
- semená slnečnice rastú v protichodných špirálach. Priemer každej jednej špirály voči priemeru nasledujúcej špirály je v pomere 1,618,
- zlatý rez sa prejavuje aj na: borovicových šiškách, listoch na stonkách rastlín, bunkové delenie hmyzu,
- vzdialenosť od temena hlavy po zem : vzdialenosť od pupku po zem = 1,618,
- vzdialenosť od pleca po končeky prstov na rukách : vzdialenosť od lakťa po končeky prstov = 1,618,
- vzdialenosť od bokov po zem : vzdialenosť od kolien po zem = 1,618...
Autor: Kainar Michal (349076)
Některým věcem nerozumím, tak například:
OdpovědětVymazat"Je to jediná krivka, ktorá rastie tak, že zachováva tvar a pomer častí." Co to znamená a jak to, že tuto vlastnost nemá třeba přímka?
nebo jak se množí ty fibonačiho páry? Umírají někdy? Nebo mají všechny páry za dobu jedné generace další dva reprodukující se potomky?
Na druhé straně a to by si mohl každý zkusit, je to taková jednoduchá početní úloha, ale a to je zajímavé, někdo ji není sto nevyřešit: Máte rozdělit délku na dvě část tak, aby poměr délky větší části ku menší byl stejný, jako poměr celku ku větší části. Jaký je to poměr? Důležité není ani tak to číslo, jako ta rovnice, jejímž je řešením. Tak rychle napište tu rovnici.
OdpovědětVymazatvelmi souvisejici skvely video Nature by Numbers, dejte si hd!
OdpovědětVymazathttp://www.youtube.com/watch?v=-WF6V9RQFz8
Tento komentář byl odstraněn autorem.
OdpovědětVymazatk tej rovnici, mala by to byť táto:
OdpovědětVymazatx / a-x = a / x
najväčší pamätník v architektúre je Cheopsova pyramída, kedy pomer plochy podstavy k ploche jej plášťa je rovný pomeru plochy plášťa k celému povrchu pyramídy
OdpovědětVymazatJá toto téma nemám moc rád, i když jsem si všiml, že je v poslední době populání, protože tvrdit například že vzdialenosť od temena hlavy po zem : vzdialenosť od pupku po zem = 1.618 je těžko ověřitelné, když ty body, jako například pupek jsou špatně definované, totiž pupek je moc velký, není to jeden bod a jeho poloha také závisí na velikosti břícha, jež se s časem mění, a lidé se přeci jen trochu liší v proporcích, takže je to asi stejně přesné, jako tvrdit, že ten poměr je 1.6, nebo 1.7. A také jsme už viděl několik videí, kde přes fotografii schránky nějakého korýše namalují spirálu a hle, ona vypadá podobně jako ta schránka i když závity ulity jsou hodně tlusté, takže by se dali překreslit i mnoha jinými, spirálami. Argumentem by pro mne byl spíš fakt, že se takto něco minimalizuje, nebo maximalizuje. Ostatně zkuste rozhodnout, zda je na obraze předmět umístěn ve zlatém řezu a nebo v jedné třetině délky.
OdpovědětVymazatAle jsem rád, že jste zde toto téma zmínil, domnívám se, že by se mohli najít lidé, jimž se bude líbit.
Co se týče proporcí v architektuře, nejzajímavějším pátráním pro mne bylo, když jeden můj kamarád zaměřoval hospodu postavenou podle návrhu Jana Blažeje Santiniho Ajchla. Zakresloval ji ve Cadu a zkoušel si konstruovat v půdorysu, jež tvořil obdélník, do něhož byly ze stran zanořeny špicí dva čtverce, kružnice s různými středy a poloměry a ty se mu v zajímavých místech protínaly. Já jsem zkoušel počítat číselné vztahy mezi těmi proporcemi a dospěl jsme k pěknému jednoduchému vyjádření, které si už bohu žel nepamatuji, ale bylo celočíselné (na rozdíl od zlatého řezu). Vím jen, že za etalon bylo možno zvolit 3 metry, obdélník hlavní místnosti rozpůlený úhlopříčkou tvořili dva pythagorejské pravoúhlé trojůhelníky se stranami 3, 4 ( a úhlopříčkou 5) trojmetrů. Pak ale bylo lze vyjádřit i poměry čtvercových ploch zanořenýách do obdélníku ku poměru jejich zbytků nějakými malými celými čísly a strejně i délky částí stran obdélníka, jež rozdělili průniky se čtverci, ale to už si nepamatuji.
Každopádně, kdo z vás ještě nebyl v poutním kostele na Zelené hoře u Žďáru (to je kousek od té hospody), tak by se tam měl jet podívat, aby poznal, co je to mystická architektura.
Toto téma je pro nás estetiky určitě přínosné, díky za vyčerpávající příspěvek :-)
OdpovědětVymazatAle je naozaj pozoruhodné, ako sa v našom živote zlatý rez nachádza všade, ale veľmi nenápadne...
OdpovědětVymazathttp://www.youtube.com/watch?v=hD2323zkQUM
nepokladam to za náhodu, i keď ak je náhodou niečo, čomu nerozumieme, je to dosť možné.
Když už jsme u té architektury: http://neviditelnypes.lidovky.cz/architektura-kubismus-slepa-ale-zajimava-cesta-fr3-/p_architekt.asp?c=A110117_200238_p_architekt_wag Na kubismus nedám dopustit. Z hlediska řešení interiérového uspořádání prostoru sice nedokázal přetavit myšlenky v hmotné řešení, ale architektura a užité umění v tomto duchu mají leccos do sebe.
OdpovědětVymazatUž jsem o zlatém řezu slyšel. Tvrzení,že lze aplikovat na vše v našem životě je zajímavé a přikláním se k tomu že je to do určité míry pravda.
OdpovědětVymazatpresne tak..aj ked nikdo to nemoze tvrdit na 100% a je vela ludi co sa ktomu stavaju pesimisticky...ale myslim si ze plati ze dokym nemame dokazy o tom ze to tak nieje vzdy je sanca ze to tak byt moze...
OdpovědětVymazatTrochu postrádám vysvětlení pojmu co se týče umění, když už jsme na té fildě, ale každému, co jeho jest. Umělecké využití však přináší pohled, který je spíše filosofický, než matematický, což taky není úplně nezajímavé (pro některé z nás)
OdpovědětVymazatano priznavam ze som dotoho mohol zakomponovat aj suvislost s umenim...ale na tuto temu by sa dalo napisat veelmi vela a nechcel som aby bol clanok moc rozsiahly pretoze si myslim ze privelka dlzka clanku by mohla odradit urcite percento citatelov aby si ho precitali a to som samozrejem nechcel,preto som niektore veci z povodneho planu vypustil...
OdpovědětVymazat