Náhoda

Co je vlastně náhoda? Na náhodu můžeme nahlížet z několika úhlů. Záleží na naší osobnosti, inteligenci, přístupu atd.

Pokusím se uvést několik možností, jak na náhodu pohlížet či jak ji chápat:

1) Filozofické hledisko – „Náhodný je jev beze smyslu a Náhodný je jev bez příčiny.“[1] (Tímto hlediskem se v této práci hlouběji zabývat nebudu.)

2) Osud = náhoda – Náhodu někteří lidé chápou stejně jako osud. Osud si někteří spojují i s náboženstvím či s magií, ale většina si ho představuje jako systém za sebou jdoucích událostí, které jsou předem určené. Lidé se snaží svůj osud odhalit pomocí různých metod. Například: výklad karet, věštba z ruky, horoskop, numerologie atd.

3) Matematické hledisko – na náhodu můžeme pohlížet i pomocí kombinatoriky a statistiky. Bohužel ne každý je toho schopen, ale pokusím se citovat pár příkladů, které toto hledisko přiblíží…„Za náhodný považujeme takový jev, při kterém limitně malá změna počátečních podmínek působí změnu výsledných podmínek přes všechny hypoteticky možné hodnoty. Třeba při hodu kostkou, tak je přece udělána. Některé naše stroje umějí vyrábět čistou náhodu: kostka, ruleta nebo generátor náhodných čísel. V technice chceme většinou čistý determinismus, výjimečně čistou nahodilost. Ve hrách ovšem chceme často obojí - nebo spíše složitěji strukturovaný prostor možných racionálních strategií (tedy jednoho řádu nutnosti, našeho záměru) a následků náhod (tedy jiného řádu nutnosti, uváděného do chodu nahodilým tahem karty, hodem, losem).“[2]

Příklad „matematické náhodnosti“ – tedy spíš PRAVDĚPODOBNOSTI při hodu hrací kostkou:

Součet	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12
Pravděpodobnost	1/36	2/36	3/36	4/36	5/36	6/36	5/36	4/36	3/36	2/36	1/36

Tyto tři hlediska jsou jen ukázkou možného chápání náhody. Každý jsme jiný a přemýšlíme jinak, proto si tento pojem vysvětlíme po svém.

---

[1] http://martinsmid.naokraj.cz/mat/nahoda.htm

[2] http://glosy.info/texty/filosofie-zive-prirody-4-cast/2

Fraktály

Fraktály

Fraktálom sa označujú geometrické útvary nepravidelného tvaru. Po jeho rozdelení vzniká viacero samopodobných jednotiek celku, ktoré ak zväčšíme, dostaneme vzor podobný celku. A práve samopodobnosť je základnou vlastnosťou fraktálov, medzi ďalšie patrí nekonečne dlhý obvod (resp.povrch), či nekonečne malý obsah (resp.objem).

Ako prvý použil pojem „fraktál“ (lat. fractus) v roku 1975 Benoit Mandelbrot, ktorý v 1977 sám definuja fraktál ako: „Fraktál je taký útvar, ktorého Hausdorffova – Besicovichova dimenzia je väčšia ako dimenzia topologická.“ Inými slovami, dimenzia pravidelných geometrických útvarov je vyjadrená celočíselne, avšak fraktály majú hodnotu zlomku alebo iracionálneho čísla.

Fraktálmi a nepravidelnosťou objektu sa zaoberá fraktálna geometria. Pomocou nej sa modeluje mnoho prírodných tvarov: mraky, stromy, rieky..

Mňa samotnú zaujalo hlavne spojenie matematiky a estetiky, ktoré fraktálna geometria ponúka. Podobne ako v umeleckej tvorbe nachádzame prvky racionálneho myslenia, tak aj vo vedeckých disciplinách sa objavuje intuícia.

Jedným z umelcov, ktorý už viac ako 30 rokov vo svojej tvorbe využíva princípy fraktálnej geometrie je Jay Jacobson. Ako prvý použil digitálnu technológiu ku korekcii a vylepšeniu fotografie. Frustrovaný obmedzeným množstvom komerčne dostupných softwarov, Jay vymyslel unikátne vytváranie obrázkov, techniky kombinujúce tradičné média, fraktálnu geometriu a špeciálne efekty. Následne túto umeleckú formu pomenoval „Fractalism“

Pri tvorbe svojich kalendárov využila fraktály aj umelkyňa Alice Kelley. Prvýkrát na ňu silným dojmom zapôsobil obrázok Roberta Carra v roku 1995 a odvtedy sa vizuálnemu umeniu a fraktálnej geometrii venuje stále viac.

Zlatý rez

Zlatý rez

Zlatý rez, zlatý podiel alebo božský rez (lat. sectio divina) je iracionálne číslo s mnohými zaujímavými vlastnosťami. Geometrické tvary odvodené od tohto čísla sa v európskej kultúre považujú za esteticky veľmi príťažlivé a mnohé geometrické proporcie v prírode sú odvodené od tohto čísla. Čo teda vlastne zlatý rez je? Označuje sa gréckym písmenom φ(menej často aj gr. písmenom τ) a rovná sa približne 1,618034. Zlatým rezom sa myslí rozdelenie úsečky na dve časti, ktorých dĺžky sú v konkrétnom pomere. Lepšie povedané, pomer dĺžky väčšej časti takto rozdelenej úsečky ku dĺžke menšej časti je rovnaký, ako pomer dĺžky celej úsečky k dĺžke väčšej časti. Tento pomer je konštantný pre všetky úsečky( nezáleží na ich pôvodnej dĺžke) a nazýva sa zlaté číslo. Je pre nás tak všadeprítomný a samozrejmý že si jeho výskyt nevšímame. Mnohí odborníci premýšľajú o tom, od kedy ľudstvo pozná zlatý rez. Niektorí sa domnievajú, že stopy po zlatom reze možno badať napr. v Egyptských pyramídach. Je možné, že už Pythagoras alebo jeho žiaci boli so zlatým rezom oboznámení, keďže zlatý rez pravdepodobne používali pri konštrukcii pentagramu. Síce si starí Gréci nedokázali pomer zlatého rezu vypočítať, ale vedeli ho narysovať. Pre pytagorejcov, ktorí si za znak svojho tajného bratstva zvolili pentagram, bolo odhalenie presnej konštrukcie otázkou odhalenia ďalšej hlbokej pravdy kozmu. Pentagram (penta - päť, gramov - čiara) čiže päťcípa hviezda, nakreslený jedným ťahom, má síce chybu krásy, pretože ju križujú čiary a oddeľujú ramená od stredu, ale delí vzdialenosť medzi vrcholmi práve v pomere zlatého rezu. Pentagram mali Gréci vo veľkej úcte, pretože názorne predstavoval to, čo nevedeli vyjadriť číselným pomerom. Zákonitosť, ktorá sa v pentagrame ukrývala, z neho urobila tajomný symbol dokonalosti vesmíru. Prvý kto jednoznačne definoval zlatý rez bol Euklides vo svojom diele Základy okolo roku 300 pred Kr. Zlatý rez nazval ako "krajný a stredný pomer". V roku 1509napísal Luca Pacioli svoje dielo Divina Proportione, ktoré skúma zlatý rez z pohľadu matematiky ale i umenia a metafyziky a bolo ilustrované samotným Leonardom da Vincim. Luka Pacioli vo svojom diele prevzal niektoré časti od maliara Piera della Francescu, ktorého obdivoval. Zlatý rez sa prekvapujúco objavuje v prírode, umení a matematike.

Fibonacci a jeho postupnost

Stredoveký matematik Fibonacci (Leonardo Pisano) prispel svojim výpočtom (Fibonacciho čísla) k matematickému podloženiu zlatého rezu. Údajne pritom vychádzal z legendy o počiatku ľudského rodu. Vytvoril číselnú postupnosť vyjadrujúcu nárast generácií: dospel k tomu, že v prvej generácii bola jedna dospelá dvojica, v druhej už 2 dvojice, mladá a dospelá, v tretej generáciám zase dve dospelé a jeden mladý pár. Celkom mu potom vyšlo, že počet dospelých párov rastie nasledovne:
1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, ...

Pravidlo je jednoduché, prvé dva členi sú dané, jednotka a jednotka, každý ďalší člen je potom súčtom dvoch predchádzajúcich členov. Rad čísiel pred ním sa vyznačoval zvláštnosťou. Pomer dvoch ich nasledujúcou členov:
1 / 1, 2 / 1, 3 / 2, 5 / 3, 8 / 5, 13 / 8, 21/13, 34/21, 55/34, 89/55, 144/89, 233/144, 377 /233, ... sa neodvratné blížil k číslu 1.61803398 ... Fibonacci toto číslo nazval božská proporcia, pretože z legendy vyplývalo, že množiť sa podľa tohto pomeru zostalo výsadou bohovi. Termín "božská proporciám alebo božský pomer" (divina proportia) bol použitý aj vo vzťahu k dielam spomínaného Leonarda da Vinciho.

Zlatý rez v prírode

Zlatý rez v prírode predstavuje základný stavebný kameň ako rastlín tak aj živočíchov. Použitie zlatého rezu v prírode by som chcel bližšie ukázať na príklade logaritmickej špirály ktorej príkladom v prírode sú napr. zobáky, zuby, rohy, parohy alebo schránky mäkkýšov. Jakub Bernoulli (1654-1705), najstarší z rodiny vynikajúcich učencov, sa okrem iného zaujímal o zákonitosti kriviek. Logaritmická špirála, ktorú krátko predtým objavil francúzsky filozof a matematik René Descartes, ho priamo fascinovala. Napísal o nej: "... mohla by byť symbolom podobnosti potomstva a rodičov, preto chcem, aby bola vyrytá do môjho náhrobného kameňa s nápisom Eadem numero mutata resurget" (Voľne preložené: Zo zmien sa znovu zroďuje tá istá). Jeho prianie sa vyplnilo v Bazileji roku 1705. Čím mohla elegantná krivka natoľko upútať? Bernoulli neváhal a označil ju za Spira mirabilis - neobyčajná, obdivuhodná špirála. Táto špirála nemení tvar, rastie rovnako do dĺžky aj do šírky. Tak rastú živočíchy a rastliny. Je to jediná krivka, ktorá rastie tak, že zachováva tvar a pomer častí. Asymetrická krivka vyjadruje symetrický rast. Nie je v tom rozpor? Začali sa hľadať dôkazy pre i proti. Zistilo sa, že rast človeka nie je úplne rovnomerný, niektoré časti môžu rásť rýchlejšie než iné, napríklad pomer dĺžky častí ruky je u detí iný než u dospelých. A čo vlasy a nechty? Tie rastú jedným smerom a vieme, ktorá časť je staršia. Ale ani vlasy ani nechty nie sú živé .Keby boli, museli by nám u holiča dať najskôr narkózu a až potom strihať. To nám dokonale spresňuje, aký rast logaritmické špirála vlastne vyjadruje. Rast neživých častí živého tvora. Môžu to byť zobáky, zuby, rohy, parohy alebo schránky mäkkýšov. Niekedy nás ani nenapadne, že to, čo pred sebou vidíme, je časťou špirály. Hlavne nie vtedy, ak ide o rýchlo rastúce špirálu. Čím viac sa jej zakrivenie líši od zakrivenia kružnice, tým menej vám bude pripomínať špirálu. Mierne ohnutý sloní kel i husto točené ulity ulitníka sú v tomto ohľade príbuzné. Turovitým kopytníkom, medzi ktoré patrí aj náš hovädzí dobytok a ovce, rastú do špirály rohy. Nebýva to vždy na prvý pohľad zreteľné, lebo obyčajne sú len časťou jedného závitu špirály, ale niektoré sú priamo ukážkou priestorovej logaritmickej špirály, napr africký kudu.

Ďalšie zaujímavosti týkajúce sa zlatého rezu v prírode:

- priemer každej jednej špirály lodienky je voči priemeru nasledujúcej špirály v pomere 1,618,
- semená slnečnice rastú v protichodných špirálach. Priemer každej jednej špirály voči priemeru nasledujúcej špirály je v pomere 1,618,
- zlatý rez sa prejavuje aj na: borovicových šiškách, listoch na stonkách rastlín, bunkové delenie hmyzu,
- vzdialenosť od temena hlavy po zem : vzdialenosť od pupku po zem = 1,618,
- vzdialenosť od pleca po končeky prstov na rukách : vzdialenosť od lakťa po končeky prstov = 1,618,
- vzdialenosť od bokov po zem : vzdialenosť od kolien po zem = 1,618...

Autor: Kainar Michal (349076)

Fraktál náš každodenný

Viktor fule

(překopírováno z Orkutu)

V posledných rokoch sa začalo veľa hovoriť o záhadnom roku 2012. Z médií k nám prúdia katastrofické scenáre o konci sveta, apokalyptické vízie o prepólovaní magnetického poľa Zeme, tornádach, megazemetraseniach, prebudení množstva sopiek, horotvorných procesoch, prelievaní morí cez kontinenty atď. Všetci sa pritom opierajú o mayský kalendár, ktorý sa končí v piatok 21. decembra 2012. V tento deň má podľa jeho vykladačov nastať koniec veku, koniec sveta, tak ako ho poznáme teraz.

Nechcem sa pridať k šíriteľom strachu, toho je medzi ľuďmi až-až. K médiám sa pridal už aj Hollywood uvedením rovnomenného filmu. Vysvetlení záhady konca mayského kalendára je viacero. Či už je to vystriedanie všetkých dvanástich znamení zverokruhu, ktoré sa udeje raz za 25 920 rokov, čo je takzvaný platónsky rok, alebo uzavretie viacerých astronomických megacyklov pohybov planetárnych sústav v centre našej galaxie. Spomína sa aj koniec hmotného, materiálne orientované 3D sveta a jeho transformácia do transcendentálnej piatej dimenzie.

Jedno z vysvetlení sa opiera o iné dôvody, ponúka iný scenár a pozdáva sa mi asi najviac. Vychádza zo spoluúčasti každého človeka na tvorbe reality, ktorú žijeme. Opiera sa v skratke asi o to, že každý človek svojimi myšlienkami, emóciami, túžbami, snami, ale aj konkrétnymi činmi spoluvytvára nielen svoju individuálnu realitu, ale aj realitu okolitého prostredia, iných ľudí a vlastne celého sveta. Každý jedinec predstavuje individuálny „vesmír“, ktorý je časťou, ale aj kópiou toho „veľkého“ vesmíru. Dobrý príklad na ilustráciu tohto vnímania sveta sú fraktály, ktorých základná vlastnosť je práve sebepodobnosť. Asi najznámejší fraktál je Mandelbrotova množina, ktorej vizuálna interpretácia nám vyráža dych svojou krásou, dokonalosťou a nekonečnosťou. Prepojenosť matematiky s naším reálnym prostredím dokumentujú prírodné tvary, ktoré možno modelovať práve vďaka fraktálnej geometrii: hory, mraky, snehové vločky, rieky atď.

12.12. (před 1 dnem) 

smazat

Viktor 

Vráťme sa však k téme. Náš svet je taký, akí sme my, aký je každý z nás. My ľudia sme plne zodpovední za stav nášho sveta. Za znečistené prírodné prostredie, za vojny, kriminalitu, hlad, za chudobu, utrpenie atď. To nie je vina a zodpovednosť iných štátov či národov niekde ďaleko na opačnom konci sveta, tam, kde sa deje niečo mimoriadne, kde sú vojny či prírodné katastrofy. To platí na úplne každého z nás. Každý z nás sa podieľa svojimi myšlienkami a skutkami na podobe sveta okolo nás. Ak nás ovláda ego, ak sú naše hlavy plné negatívnych myšlienok a emócií, strachu, hnevu, závisti, nechtiac nimi znečisťujeme nielen svoj osobný vesmír, ale aj ten „veľký“ spoločný. Ak naše skutky nie sú konané s dobrým úmyslom, s bezpodmienečnou láskou, ťažko môžeme čakať pozitívny ohlas od iných. Ak sa nenaučíme odpúšťať chyby iným, ťažko bude odpustené nám. Ak je náš vnútorný vesmír plný chaosu, úzkosti a tmy, ťažko bude náš spoločný svet plný pokoja, radosti, harmónie a lásky.

Toto všetko sú myšlienky a hodnoty, ktoré nám sú veľmi dobre známe už tisíce rokov, ibaže sa ich v praktickom živote málo držíme. Musíme si preto uvedomiť našu plnú osobnú zodpovednosť za to všetko, čo sa okolo nás deje. Či už v tom našom individuálnom živote, alebo následne tom spoločnom, celosvetovom. Dobrá správa je, že na to, aby sme dali do poriadku chaos, utrpenie či negativitu na tej „vesmírnej“ makroúrovni, stačí, aby sme si dali do poriadku ten náš vlastný maličký mikrovesmír. O ostatné sa už postarajú zákonitosti fraktálnej matematiky. Stačí, aby sme v tom našom malom mikrovesmíre mali čistučko upratané a aby v ňom stále svietilo svetielko... :-) Popremýšľajte, ako na to. Ak budete hľadať, svoju cestu si už určite nájdete.

Rok 2012 preto môže byť určitý prelom v tom, aký bude náš svet, či v nás ľuďoch preváži poriadok, dobro, svetlo, láska alebo zlo, tma a chaos. A teda či nastane nová, lepšia éra v histórii ľudstva alebo postupná skaza a zánik. Máme našťastie ešte stále na výber, hoci čas sa kráti. Ja som za tú prvú možnosť.

první stránka  |  < předchozí stránka  

fraktální vločka

1. obrázek zleva

startshape SNOWFLAKE

rule SNOWFLAKE {

6* {r 60} SPIKE {}

}

rule SPIKE {

SQUARE {}

SPIKE { y 0.95 s 0.97 }

}

2. obrázek

startshape SNOWFLAKE

rule SNOWFLAKE {

6* {r 60} SPIKE {}

}

rule SPIKE {

SQUARE {}

SPIKE { y 0.95 s 0.97 }

}

rule SPIKE 0.03 {

SQUARE {}

SPIKE { r 60 }

SPIKE { r -60 }

SPIKE { y 0.95 s 0.97 }

}

legenda: r = rotate, s = size, y = osa y

davit šmehlík

342299

Fraktály

Fraktály a svet

          V poslednom čase  narastá publicita a popularita fraktálov. Ich použitie  je veľmi rôznorodé. Pre generovanie fraktálnych obrazcov sa používajú programové aplikácie. Pri dynamických systémoch a nelineárnych systémoch a ich teoretických štúdiách a aplikáciách možno využiť veľké množstvo poznatkov z fraktálnej geometrie  a samotných fraktálov. Fraktálna geometria je už rozsiahla vedná disciplína, ktorou sa zaoberali vedci už od 60-tych rokov 19. storočia, a zasahuje do mnohých ďalších vedných disciplín.

                Pomenovanie fraktál použil ako prvý v roku 1975 matematik Benoit Mandelbrot. Je to vedec poľského pôvodu, ktorý sa narodil 20. Januára 1924 vo Varšave. Študoval vo Francúzku pod vedením Gastrona Julii alebo Paula Léviho. Pracoval aj vo firme IBM ako programátor, kde študoval prenos a rozloženie chýb v prenášanom signáli. Prišiel na to, že sa chyby opakujú v určitých intervaloch, nezávisle na ich časovom určení. Tieto podobnosti si všimol aj pri štúdii cien na burze. Tieto pozorovania ho priviedli k tomu aby sa venoval bližšie fraktálom a ich popisu. Podarilo sa mu už tejto dobe popísať fraktály, ktoré sa  vyskytovali v prírode, pri prenose signálu, alebo rozložení hmoty vo vesmíre. Jeho najznámejšou knihou je ,, The Fractal Geometry of Nature“. Zo strany matematikou si zaslúžil mnoho kritiky hlavne kvôli kompozícii tejto knihy a štýlu písania. Využil v nej skôr porovnávanie ako zložité matematické vzorce a výpočty čo sa im veľmi nepáčilo. Jeho definícia fraktálov je najpopulárnejšia  a aj najviac uznávaná  v jeho obore, napriek tomu sú matematici ktorý s ním nesúhlasia. Popisuje fraktál ako množinu, ktorej Hansdorffova dimenzia je ostro väčšia ako jej topologická dimenzia. Stretol som sa aj s jednou verziou definície, ktorá je skôr určená pre širšiu verejnosť v ktorej sa popisuje fraktál ako útvar ktorého zväčšením dostaneme rovnaký obrazec bez ohľadu na mierku. Po tomto vedcovi je pomenovaný aj najznámejší fraktál – Mandelbrotova množina. Je to fraktál ktorý leží v komplexnej rovine a bol prezentovaný po prvý raz v roku 1979.

Mandelbrotova množina

Detail Mandelbrotovej množiny

fraktál v komplexnej rovine 

Okrem pojmu dimenzie pri popise abstraktných materiálov a prírodných útvarov s fraktálnou štruktúrou je dôležitá sebapodobnosť. Je to taká vlastnosť objektu, že jeho časti alebo objekty  vyzerajú podobne pri použití rôznej mierky alebo zväčšení. Na obrázku vidíme sebapodobnosť papradia. Mňa osobne fascinuje ako sa dá z jednoduchého útvaru len pomocou mierky a opakovania toho istého tvaru spraviť obrázok, alebo namodelovať tvar z prírody, z bežného života. 

Vo svete a spoločnosti  je známych veľa druhou fraktálov.  Najbežnejšie typy  fraktálov sú napríklad  L – systémy, IFS, dynamické systémy, náhodné  alebo prírodné fraktály. Teraz sa pokúsim popísať trochu ich jednotlivé princípy a ich použitia. Viem že som si vybral len asi to najobecnejšie delenie fraktálov. Pokiaľ by som chcel ale sem zahrnúť  viac ešte druhov tak by to bolo na dlho a mnohých  by to aj omrzelo.

Začal by som asi s najznámejším L- systémom, alebo celým pomenovaním Lindenmayerovým systémom. Dostal meno podľa biológa a botanika Aristida Lindenmayera.  Je to pravidelný prepisovací systém  formálnej gramatiky. Používa sa pri modelovaní vývinu rastlín, alebo v rôznych biologických operáciách.  Používa sa na generovanie rias, Fibonačiho čísiel, alebo generovanie  fraktálov ako je Kochova vločka. Kochova vločka je do seba uzavretá fraktálna krivka obklopujúca konečnú plochu, pričom samotná krivka je nekonečne dlhá. Patrí medzi jednu z prvých objavených fraktálnych kriviek. Pre lepšie predstavenie by som vám ju popísal ako snehovú vločku s veľmi členitými okrajmi. Vidíte zase sa dá fraktálom popísať ďaľší prírodný útvar.

Hilbertova krivka tvorená neprerušovanou­ líniou

Kochova krivka

Ako ďalší systém by som spomenul IFS (Itereted Function System ) teda systém iterovaných funkcií. Patrí tiež k spôsobom výstavby fraktálov. Fraktály sa tvoria pomocou afinných transformácií, ktoré prevádzajú s objektom  tri operácie ako je rotácia, zmena mierky a posuv. Tomuto fraktálu vravíme tiež  self- similar(self-podobný). Ich tvar sa skladá z niekoľkých prekrývajúcich sa, možno aj menších kópií seba samého a z ktorých je tiež ešte tvorená kópia. Medzi IFS fraktály patrí napríklad Rhomanova krivka, alebo Cantor (tretí obrázok). Vybral som si pár obrázkov na ktorých je vidno, že pri IFS ide o rotáciu, zmenu mierky a posuv jednotlivých častí. Prvý a posledný obrázok pripomínajú zase prírodné útvary ako je vetva, alebo možná koruna stromu. 

konár vytvorená pomocou IFS systému

Cantor

Dynamické systémy s fraktálnou štruktúrou tvoria skupinu fraktálov ktorá má v technickej praxi najväčšie uplatnenie. Dynamický model je závislý na niektorej nezávislej veličine väčšinou čase. Vychádza z počiatočných podmienok a je nimi v čase determinovaný. Stav v ľubovoľnom časovom okamihu je reprezentovaným vektorom, ktorý nazývame stavový vektor. Dynamické podmienky sú väčšinou zadané  sústavou diferenciálnych rovníc, ktoré reprezentujú zmenu stavového vektora v čase. Typickým príkladom dynamického systému s fraktálnou štruktúrou je výpočet populačného rastu. Z týchto systémov sú v počítačovej grafike známe Juliove množiny a Mandelbrotova množina.

Juliova množina v hyperkomplexnom priestore

Mandelbrotova množina

Pri popise dynamického systému a systému IFS sa môžeme stretnúť s pojmom atraktor. Atraktor dynamického systému je množina stavov do ktorých systém smeruje. Ide o množinu hodnôt, ktoré môže nadobudnúť stavový vektor dynamického stavu po dostatočne dlhom časovom úseku od začiatku impulzu. Predstavte si tieto obrázky tak ako keby ste si nastavili dlhú expozíciu na fotoaparáte a v noci vyfotili svetlá auta, ktoré ide popri vás. Výsledný efekt obrázku bude dosť podobný uvedeným príkladom.

Abstraktory sa delia do niekoľkých tried :

-          Množinu pevných bodov

-          Množinu periodických bodov

-          Množinu kváziperiodických bodov

-          Atraktor je chaotický

-          Strange atrakor

Strange atraktor

Strange atraktor

Pri náhodných fraktáloch  narozdiel od predchádzajúcich príkladov sa vnáša do algoritmu  náhoda.  Tým umožňuje lepší proces zobrazenia prírodných fraktálov. Pomáha vytvárať nesymetrické tvary. Náhodné fraktály sa dajú vytvoriť viacerými spôsobmi ako je napríklad pomocná simulácia Brownovho pohybu ktorá sa používa na simuláciu riek, ale nie je vhodná na 3D simulácie. Ďalšia metóda je posúvanie stredového bodu ktorá sa využíva v počítačovej grafike, alebo spektrálna syntéza. Mnoho prírodných útvarov  máme možnosť namodelovať pomocou fraktálnej geometrie, ako sú napríklad oblaky, snehové vločky, rieky. Často využívanými algoritmami na generovanie prírodných útvarov sú rekurzívne algoritmy. Známy je napríklad príklad organického fraktálu Romanesco.

fraktál Romanesco

stochastický fraktál 

Najširšie uplatnenie fraktálov a farktálnej geometrie nájdeme asi v počítačovej  grafike. Vedci pomocou počítačovej techniky môžu podrobne skúmať fraktály. Ale vývojom techniky sa ukázalo že nájsť nové spôsoby modelovania. V dnešnej spoločnosti sa využívajú asi tri rôzne spôsoby. Prvým spôsobom modelovania je modelovanie pomocou animátora. Sem patria programy typu CAD, CAM. Pri tomto druhu modelovania je problém namodelovať  zložitejšie objekty ako sú napríklad stromy. Z vlastnej skúsenosti viem že si to aj vyžaduje dostatočne veľkú zručnosť modelovať v týchto programoch, pokiaľ chceme dosiahnuť uspokujujúci konečný  vizuálny efekt. Druhý druh modelovania je skenovanie objektov. Jeho nevýhoda  je hlavne cena skenovacích prístrojov a obmedzenie použitia už aj kvôli veľkostiam skenovaných objektov. Pri tomto modelovaní mi hneď napadlo ako by som vopchal strom to toho skenera napriklad, alebo  ešte väčšie predmety. Je to pravdaže nemožné pri týchto predmetoch získať vynikajúce výsledky skenovania. Tretím spôsob je procedurálne modelovanie. Pri ktorom animátor zadáva spôsob, akým bude objekt modelovaný. Táto metóda má výhodu malého objemu počiatočných hodnôt dát, ale nevýhodou je nutnosť vybrať najlepšej metódy na generovanie množiny. Okrem použitia v počítačovej grafike sa fraktály používajú ako názorné ukážky k výučbe matematiky v školách, v populárnej kultúre, počítačom vytvorené plochy pre fotografovanie, alebo majú široké využitie vo filmovom priemysle. Tiež sa s nimi môžeme stretnúť napríklad v ekonomike, alebo pri predpovedi počasia, alebo v lekárstve pri modelovaní cievnej sústavy.

Po tomto nahliadnutí do základov, by som teraz použil jednu otázku o ktorej sa bavili spolužiaci na fakulte informatiky. Celá debata o fraktáloch začala ako vysvetlenie pojmu fraktál jednému študentovi, ktorý si to nevedel predstaviť. Pustili mu pár videí a pokúšali sa mu to vysvetliť. A potom padla otázka :,, Je úsečka fraktál? A má úsečka o dĺžke 10cm ozaj 10cm?“ Týmto impulzom asi začala tak hodinová diskusia medzi nimi. Na konci nevedeli nájsť spoločné stanovisko. Ich úvaha smerovala asi tak že pokiaľ budem približovať priamku viac a viac tak nájdem tam opakujúce sa objekty a tak z toho vyplýva že úsečka je fraktál. A pri odkazovaní na dĺžku úsečky vychádzali z tohto predpokladu a vraveli že jej hrana nie je úplne rovná že sa tam nájdu nerovnosti čo zmenia predpokladanú dĺžku 10cm. Keď si spomeniete veľmi sa to podobá na obdobu merania dĺžky pobrežia Anglicka a Južnej Afriky. Tak čo si myslíte je úsečka fraktál? Pokiaľ ste si odpovedali áno tak ste sa mýlili. Ja som si to tiež myslel keď som po prvý raz rozmýšľal nad touto otázkou, ale to bolo podľa mňa mojou nevedomosťou. Na internete sa mi podarilo nájsť ľahký, prehľadný  matematický dôkaz tvrdenia že úsečka nie je fraktál. Pokiaľ by vás zaujímal celý dôkaz pridal som ho k prílohám. Celá podstata dôkazu spočíva v tom, že topologickú dimenziu úsečky samozrejme poznáme z Euklidovskej geometrie a rovná sa jednej.  Hausdorffovu dimenziu sme si vypočítali a je tiež veľkosti jedna. A podľa definície fraktálu ktorá ho definuje ako množinu, ktorej Hansdorffova dimenzia je ostro väčšia ako jej topologická dimenzia vyplýva že úsečka nie je fraktálom, lebo Hausdorffova dimenzia sa tak rovná dimenzii topologickej.

Dúfam že si už aspoň trochu viete predstaviť čo sú to fraktály a že majú široké zastúpenie vo svete. Vo svete matematiky patria medzi asi najhorúcejšie a najfrekventovanejšie nové témy. Všade nás obklopujú  a môžeme sa s nimi stretnúť napríklad v ekonomike, pri predpovedi počasia, v grafike a takto by sa mohlo pokračovať ďalej a ďalej. Ako ste si asi všimli pokúsil som sa  poukázať aj na to že si fraktály môžeme všimnúť aj v prírode okolo nás. Ako prílohu som vám pridal pár videí o fraktáloch, tak dúfam že sa vám budú páčiť.

Prílohy:

  1.1Videá:

      Koch Snowflake Fractal

      Everything Is Fractal

      3D IFS fractal: Menger Sponge Zoom

      3D IFS Fractal : Sierpinski on Ice

      Fractal Zoom Mandelbrot Corner

      Psychedelic Kaleidoscope Fractal Animation

      Fractales en la naturaleza – prístup len cez vlastný účet

1.2Matematický dôkaz:

Vytvoríme úsečku, ktorá má jednotkovú dĺžku. Teraz túto úsečku rozdelíme na N dielov. To odpovie tomu, ako by sme sa na úsečku pozerali s N- násobným zväčšením. Mierka nové úsečky sa vypočíta nasledujúcim spôsobom:

s=1/N

kde s značí mierku a N je počet dielov, na ktoré sa teleso (v našom prípade úsečka) rozdelí. Pre Hausdorffovu dimenziu obecne platí nasledujúca podmienka:

Ns^D=1

Z toho vyplýva, že Hausdorffova dimenzia sa pre dané delenie N a danú mierku s vypočíta pomocou postupu:

Ns^D=1
log Ns^D=log 1
log N+log s^D=0
log N+D log s=0
D log s=-log N
D=(-log N)/log s
D=log N/log (1/s)

Po dosadení vyššie uvedeného vzťahu s=1/N do vzorce D=log N/log (1/s) dostaneme výsledok:

D=log N/log (1/s)=log N/log N=1

Topologickú dimenziu úsečky samozrejme poznáme z Euklidovské geometrie a rovná sa jednej. Hausdorffovu dimenziu sme si vypočítali a je tiež veľkosti jedna. A podľa definície fraktálu ktorá ho definuje ako množinu, ktorej Hansdorffova dimenzia je ostro väčšia ako jej topologická dimenzia vyplýva že úsečka nie je fraktálom, lebo Hausdorffova dimenzia sa tak rovná dimenzii topologickej.

                                                                                                                                         Vass Vojtech