Fraktály a svet
V poslednom čase narastá publicita a popularita fraktálov. Ich použitie je veľmi rôznorodé. Pre generovanie fraktálnych obrazcov sa používajú programové aplikácie. Pri dynamických systémoch a nelineárnych systémoch a ich teoretických štúdiách a aplikáciách možno využiť veľké množstvo poznatkov z fraktálnej geometrie a samotných fraktálov. Fraktálna geometria je už rozsiahla vedná disciplína, ktorou sa zaoberali vedci už od 60-tych rokov 19. storočia, a zasahuje do mnohých ďalších vedných disciplín.
Pomenovanie fraktál použil ako prvý v roku 1975 matematik Benoit Mandelbrot. Je to vedec poľského pôvodu, ktorý sa narodil 20. Januára 1924 vo Varšave. Študoval vo Francúzku pod vedením Gastrona Julii alebo Paula Léviho. Pracoval aj vo firme IBM ako programátor, kde študoval prenos a rozloženie chýb v prenášanom signáli. Prišiel na to, že sa chyby opakujú v určitých intervaloch, nezávisle na ich časovom určení. Tieto podobnosti si všimol aj pri štúdii cien na burze. Tieto pozorovania ho priviedli k tomu aby sa venoval bližšie fraktálom a ich popisu. Podarilo sa mu už tejto dobe popísať fraktály, ktoré sa vyskytovali v prírode, pri prenose signálu, alebo rozložení hmoty vo vesmíre. Jeho najznámejšou knihou je ,, The Fractal Geometry of Nature“. Zo strany matematikou si zaslúžil mnoho kritiky hlavne kvôli kompozícii tejto knihy a štýlu písania. Využil v nej skôr porovnávanie ako zložité matematické vzorce a výpočty čo sa im veľmi nepáčilo. Jeho definícia fraktálov je najpopulárnejšia a aj najviac uznávaná v jeho obore, napriek tomu sú matematici ktorý s ním nesúhlasia. Popisuje fraktál ako množinu, ktorej Hansdorffova dimenzia je ostro väčšia ako jej topologická dimenzia. Stretol som sa aj s jednou verziou definície, ktorá je skôr určená pre širšiu verejnosť v ktorej sa popisuje fraktál ako útvar ktorého zväčšením dostaneme rovnaký obrazec bez ohľadu na mierku. Po tomto vedcovi je pomenovaný aj najznámejší fraktál – Mandelbrotova množina. Je to fraktál ktorý leží v komplexnej rovine a bol prezentovaný po prvý raz v roku 1979.
![]() |
Mandelbrotova množina |
![]() |
Detail Mandelbrotovej množiny |
![]() |
fraktál v komplexnej rovine |
Okrem pojmu dimenzie pri popise abstraktných materiálov a prírodných útvarov s fraktálnou štruktúrou je dôležitá sebapodobnosť. Je to taká vlastnosť objektu, že jeho časti alebo objekty vyzerajú podobne pri použití rôznej mierky alebo zväčšení. Na obrázku vidíme sebapodobnosť papradia. Mňa osobne fascinuje ako sa dá z jednoduchého útvaru len pomocou mierky a opakovania toho istého tvaru spraviť obrázok, alebo namodelovať tvar z prírody, z bežného života.
Vo svete a spoločnosti je známych veľa druhou fraktálov. Najbežnejšie typy fraktálov sú napríklad L – systémy, IFS, dynamické systémy, náhodné alebo prírodné fraktály. Teraz sa pokúsim popísať trochu ich jednotlivé princípy a ich použitia. Viem že som si vybral len asi to najobecnejšie delenie fraktálov. Pokiaľ by som chcel ale sem zahrnúť viac ešte druhov tak by to bolo na dlho a mnohých by to aj omrzelo.
Začal by som asi s najznámejším L- systémom, alebo celým pomenovaním Lindenmayerovým systémom. Dostal meno podľa biológa a botanika Aristida Lindenmayera. Je to pravidelný prepisovací systém formálnej gramatiky. Používa sa pri modelovaní vývinu rastlín, alebo v rôznych biologických operáciách. Používa sa na generovanie rias, Fibonačiho čísiel, alebo generovanie fraktálov ako je Kochova vločka. Kochova vločka je do seba uzavretá fraktálna krivka obklopujúca konečnú plochu, pričom samotná krivka je nekonečne dlhá. Patrí medzi jednu z prvých objavených fraktálnych kriviek. Pre lepšie predstavenie by som vám ju popísal ako snehovú vločku s veľmi členitými okrajmi. Vidíte zase sa dá fraktálom popísať ďaľší prírodný útvar.
![]() |
Hilbertova krivka tvorená neprerušovanou líniou |
![]() |
Kochova krivka |
Ako ďalší systém by som spomenul IFS (Itereted Function System ) teda systém iterovaných funkcií. Patrí tiež k spôsobom výstavby fraktálov. Fraktály sa tvoria pomocou afinných transformácií, ktoré prevádzajú s objektom tri operácie ako je rotácia, zmena mierky a posuv. Tomuto fraktálu vravíme tiež self- similar(self-podobný). Ich tvar sa skladá z niekoľkých prekrývajúcich sa, možno aj menších kópií seba samého a z ktorých je tiež ešte tvorená kópia. Medzi IFS fraktály patrí napríklad Rhomanova krivka, alebo Cantor (tretí obrázok). Vybral som si pár obrázkov na ktorých je vidno, že pri IFS ide o rotáciu, zmenu mierky a posuv jednotlivých častí. Prvý a posledný obrázok pripomínajú zase prírodné útvary ako je vetva, alebo možná koruna stromu.
![]() |
konár vytvorená pomocou IFS systému |
![]() |
Cantor |
Dynamické systémy s fraktálnou štruktúrou tvoria skupinu fraktálov ktorá má v technickej praxi najväčšie uplatnenie. Dynamický model je závislý na niektorej nezávislej veličine väčšinou čase. Vychádza z počiatočných podmienok a je nimi v čase determinovaný. Stav v ľubovoľnom časovom okamihu je reprezentovaným vektorom, ktorý nazývame stavový vektor. Dynamické podmienky sú väčšinou zadané sústavou diferenciálnych rovníc, ktoré reprezentujú zmenu stavového vektora v čase. Typickým príkladom dynamického systému s fraktálnou štruktúrou je výpočet populačného rastu. Z týchto systémov sú v počítačovej grafike známe Juliove množiny a Mandelbrotova množina.
![]() |
Juliova množina v hyperkomplexnom priestore |
![]() |
Mandelbrotova množina |
Pri popise dynamického systému a systému IFS sa môžeme stretnúť s pojmom atraktor. Atraktor dynamického systému je množina stavov do ktorých systém smeruje. Ide o množinu hodnôt, ktoré môže nadobudnúť stavový vektor dynamického stavu po dostatočne dlhom časovom úseku od začiatku impulzu. Predstavte si tieto obrázky tak ako keby ste si nastavili dlhú expozíciu na fotoaparáte a v noci vyfotili svetlá auta, ktoré ide popri vás. Výsledný efekt obrázku bude dosť podobný uvedeným príkladom.
Abstraktory sa delia do niekoľkých tried :
- Množinu pevných bodov
- Množinu periodických bodov
- Množinu kváziperiodických bodov
- Atraktor je chaotický
- Strange atrakor
![]() |
Strange atraktor |
![]() |
Strange atraktor |
Pri náhodných fraktáloch narozdiel od predchádzajúcich príkladov sa vnáša do algoritmu náhoda. Tým umožňuje lepší proces zobrazenia prírodných fraktálov. Pomáha vytvárať nesymetrické tvary. Náhodné fraktály sa dajú vytvoriť viacerými spôsobmi ako je napríklad pomocná simulácia Brownovho pohybu ktorá sa používa na simuláciu riek, ale nie je vhodná na 3D simulácie. Ďalšia metóda je posúvanie stredového bodu ktorá sa využíva v počítačovej grafike, alebo spektrálna syntéza. Mnoho prírodných útvarov máme možnosť namodelovať pomocou fraktálnej geometrie, ako sú napríklad oblaky, snehové vločky, rieky. Často využívanými algoritmami na generovanie prírodných útvarov sú rekurzívne algoritmy. Známy je napríklad príklad organického fraktálu Romanesco.
![]() |
fraktál Romanesco |
![]() |
stochastický fraktál |
Najširšie uplatnenie fraktálov a farktálnej geometrie nájdeme asi v počítačovej grafike. Vedci pomocou počítačovej techniky môžu podrobne skúmať fraktály. Ale vývojom techniky sa ukázalo že nájsť nové spôsoby modelovania. V dnešnej spoločnosti sa využívajú asi tri rôzne spôsoby. Prvým spôsobom modelovania je modelovanie pomocou animátora. Sem patria programy typu CAD, CAM. Pri tomto druhu modelovania je problém namodelovať zložitejšie objekty ako sú napríklad stromy. Z vlastnej skúsenosti viem že si to aj vyžaduje dostatočne veľkú zručnosť modelovať v týchto programoch, pokiaľ chceme dosiahnuť uspokujujúci konečný vizuálny efekt. Druhý druh modelovania je skenovanie objektov. Jeho nevýhoda je hlavne cena skenovacích prístrojov a obmedzenie použitia už aj kvôli veľkostiam skenovaných objektov. Pri tomto modelovaní mi hneď napadlo ako by som vopchal strom to toho skenera napriklad, alebo ešte väčšie predmety. Je to pravdaže nemožné pri týchto predmetoch získať vynikajúce výsledky skenovania. Tretím spôsob je procedurálne modelovanie. Pri ktorom animátor zadáva spôsob, akým bude objekt modelovaný. Táto metóda má výhodu malého objemu počiatočných hodnôt dát, ale nevýhodou je nutnosť vybrať najlepšej metódy na generovanie množiny. Okrem použitia v počítačovej grafike sa fraktály používajú ako názorné ukážky k výučbe matematiky v školách, v populárnej kultúre, počítačom vytvorené plochy pre fotografovanie, alebo majú široké využitie vo filmovom priemysle. Tiež sa s nimi môžeme stretnúť napríklad v ekonomike, alebo pri predpovedi počasia, alebo v lekárstve pri modelovaní cievnej sústavy.
Po tomto nahliadnutí do základov, by som teraz použil jednu otázku o ktorej sa bavili spolužiaci na fakulte informatiky. Celá debata o fraktáloch začala ako vysvetlenie pojmu fraktál jednému študentovi, ktorý si to nevedel predstaviť. Pustili mu pár videí a pokúšali sa mu to vysvetliť. A potom padla otázka :,, Je úsečka fraktál? A má úsečka o dĺžke 10cm ozaj 10cm?“ Týmto impulzom asi začala tak hodinová diskusia medzi nimi. Na konci nevedeli nájsť spoločné stanovisko. Ich úvaha smerovala asi tak že pokiaľ budem približovať priamku viac a viac tak nájdem tam opakujúce sa objekty a tak z toho vyplýva že úsečka je fraktál. A pri odkazovaní na dĺžku úsečky vychádzali z tohto predpokladu a vraveli že jej hrana nie je úplne rovná že sa tam nájdu nerovnosti čo zmenia predpokladanú dĺžku 10cm. Keď si spomeniete veľmi sa to podobá na obdobu merania dĺžky pobrežia Anglicka a Južnej Afriky. Tak čo si myslíte je úsečka fraktál? Pokiaľ ste si odpovedali áno tak ste sa mýlili. Ja som si to tiež myslel keď som po prvý raz rozmýšľal nad touto otázkou, ale to bolo podľa mňa mojou nevedomosťou. Na internete sa mi podarilo nájsť ľahký, prehľadný matematický dôkaz tvrdenia že úsečka nie je fraktál. Pokiaľ by vás zaujímal celý dôkaz pridal som ho k prílohám. Celá podstata dôkazu spočíva v tom, že topologickú dimenziu úsečky samozrejme poznáme z Euklidovskej geometrie a rovná sa jednej. Hausdorffovu dimenziu sme si vypočítali a je tiež veľkosti jedna. A podľa definície fraktálu ktorá ho definuje ako množinu, ktorej Hansdorffova dimenzia je ostro väčšia ako jej topologická dimenzia vyplýva že úsečka nie je fraktálom, lebo Hausdorffova dimenzia sa tak rovná dimenzii topologickej.
Dúfam že si už aspoň trochu viete predstaviť čo sú to fraktály a že majú široké zastúpenie vo svete. Vo svete matematiky patria medzi asi najhorúcejšie a najfrekventovanejšie nové témy. Všade nás obklopujú a môžeme sa s nimi stretnúť napríklad v ekonomike, pri predpovedi počasia, v grafike a takto by sa mohlo pokračovať ďalej a ďalej. Ako ste si asi všimli pokúsil som sa poukázať aj na to že si fraktály môžeme všimnúť aj v prírode okolo nás. Ako prílohu som vám pridal pár videí o fraktáloch, tak dúfam že sa vám budú páčiť.
Prílohy:
1.1Videá:
1.2Matematický dôkaz:
Vytvoríme úsečku, ktorá má jednotkovú dĺžku. Teraz túto úsečku rozdelíme na N dielov. To odpovie tomu, ako by sme sa na úsečku pozerali s N- násobným zväčšením. Mierka nové úsečky sa vypočíta nasledujúcim spôsobom:
s=1/N
kde s značí mierku a N je počet dielov, na ktoré sa teleso (v našom prípade úsečka) rozdelí. Pre Hausdorffovu dimenziu obecne platí nasledujúca podmienka:
NsD=1
Z toho vyplýva, že Hausdorffova dimenzia sa pre dané delenie N a danú mierku s vypočíta pomocou postupu:
NsD=1
log NsD=log 1
log N+log sD=0
log N+D log s=0
D log s=-log N
D=(-log N)/log s
D=log N/log (1/s)
log NsD=log 1
log N+log sD=0
log N+D log s=0
D log s=-log N
D=(-log N)/log s
D=log N/log (1/s)
Po dosadení vyššie uvedeného vzťahu s=1/N do vzorce D=log N/log (1/s) dostaneme výsledok:
D=log N/log (1/s)=log N/log N=1
Topologickú dimenziu úsečky samozrejme poznáme z Euklidovské geometrie a rovná sa jednej. Hausdorffovu dimenziu sme si vypočítali a je tiež veľkosti jedna. A podľa definície fraktálu ktorá ho definuje ako množinu, ktorej Hansdorffova dimenzia je ostro väčšia ako jej topologická dimenzia vyplýva že úsečka nie je fraktálom, lebo Hausdorffova dimenzia sa tak rovná dimenzii topologickej.
Vass Vojtech
Teď jsem si všiml, že Mandelbrod zemřel v den naší druhé přednášky o fraktální geometrii: 14. října 2010 Cambridge
OdpovědětVymazatvzpomnel jsem si na Mandelbrotuv ted talk (z unora 2010).
OdpovědětVymazatjistojiste stoji za zkouknuti!
http://www.ted.com/talks/lang/eng/benoit_mandelbrot_fractals_the_art_of_roughness.html
btw superestetickej fraktal si muze vyrobit kazdej, a sice pomoci aplikace Apophysis
OdpovědětVymazathttp://en.wikipedia.org/wiki/Apophysis_(software)
http://www.apophysis.org/
tady trea link na muj experiment
http://www.flickr.com/photos/39099231@N02/3595119274/lightbox/
a pokud mate spis pasivnejsi naladu, muzete celej vecir koukat na Electric Sheep screensaver
OdpovědětVymazathttp://cs.wikipedia.org/wiki/Electric_Sheep
http://electricsheep.org/
pokus na Apophysis dokončen, fajn program na tvoření jak se člověk nudí :)
OdpovědětVymazatPS: Na funkčnost Electric Sheepu by jsem se podíval pokud mám počítač připojen na koleji kde mi minuta co minuta padá někdy net :)
Teď jsem si čet že aj armáda jich používá na fraktálové kamufláže, a využívá kombinaci barev která opticky rozbije člověku předmět na který se kouká.
OdpovědětVymazattady je jeden obrázek:
http://media.defenseindustrydaily.com/images/AIR_F-16_in_KA2-Desert_lg.jpg
Krásné obrázky. Organický fraktál Romanesco mě opravdu mile překvapil.
OdpovědětVymazatdíky :) mně se zas strašně líbí obrázek Juliove množiny v hyperkomplexním prostoru.
OdpovědětVymazatTento příspěvek se mi líbí nejvíce v místech, kde nad obecně platné vystupují vaše osobní zkušenosti. A pěkná je také volba obrázků, zvlášť kdyby u nich byl popis algoritmů, kterými vznikly,. Aby vyšlo najevo, jak je jednoduché udělat něco složitého, když jednoduché je vztaženo na rovnici nebo předpis funkce a složité na pocit z vizuálního vjemu. Dost to relativizuje pojmy jednoduchý a složitý.
OdpovědětVymazatZajímalo by mne, ale bojím se, že se to tady nedozvíme, zda to někomu ukázalo něco nového, o čem dosud neměl tušení a teď jej to zaujalo natolik, že by o tom chtěl vědět víc.
A za první příspěvek máte ještě nějaké body, ale vzhledem k tomu, že výplatní funkce je jen dvouhodnotová, tak se to neprojeví.
Několik poznámek:
self- similar bych namísto self-podobný překládal sobě podobný.
Co se definice fraktálu, které uvádíte, týče, první má tu nevýhodu, že je velmi obtížné stanovit Hausdorfovu dimenzi nějaké množiny, která ani nemusí být ve všech místech stejná, zato požadavek soběpodobnosti zase vyloučí většinu množin ze společenství fraktálů. Tu soběpodobnost mají ty z nich, která lze vytvořit nějakým monotónní rekurzivním opakováním téže operace. Na druhé straně jak píšete o něco níž i mně se líbí, jak se dá aplikací velmi jednoduché formule získat něco co je v jistém smyslu velmi složité.
Co se týče pozorování chyb v signálech, Píše o něm Mandelbrod ve fraktální geometrii přírody hledal intervaly mezi jednotlivými chybami. Pokud zvolil vyšší citlivost pro detekci chyb, objevili se chyby uprostřed těchto původně bezchybných intervalů a ty se tak rozpadly na kratší podintervaly. Tvrdí, že v tom pozoroval jistou pravidelnost, podobnou konstrukci Cantorovy množiny.
A ta diskuse nad úsečkou, to je malé nedorozumění. Je potřeba si uvědomit, že nic takového jako číslo, nebo úsečka v reálném světě neexistuje a nezaměňovat nějakou rovnou čáru (zajímavé jsou ty ve videích se slepicemi u jiného příspěvku zde), čistě formální abstrakcí, jež existuje pouze v myšlenkách.
Tento komentář byl odstraněn autorem.
OdpovědětVymazatza ten překlad by jsem se chtěl omluvit nebo texty jsem našel většinou v angličtině a při některých překladech jsem použil internetový slovník a ta chyba vznikla asi tam, člověk si to chce ulehčit a pak to tak dopadne...
OdpovědětVymazatpotom se pokusím pohledat aspoň k některým obrázkum algoritmy, ale nechci nic slibovat...
Já taky používám internetový slovník a pak to někdy zkouším přeložit zase zpátky, jestli dostanu totéž, a nějak to nikdy nesedí. . . no každopádně tady (v tomto blogu) máme jeden moc pěkný příklad, který je takový limes inferior možnýchpřekladů.
OdpovědětVymazatpri hľadaní stránky z ktorej som mal väčšiu časť odborného textu do tohto príspevku som našiel stránku, kde sa pokúšajú vysvetliť fraktály v počítačovej grafike, je tam snaha popísať aj algoritmus generovania plôch pomocou trojuholníkovej konštrukcie.
OdpovědětVymazathttp://pg.kpi.fei.tuke.sk/?q=node/27
Tento píspevok bol pre mňa naozaj prínosný, pretože som o fraktáloch naozaj takmer nič nevedela, predpokladám, že vačšina tvojich informácií v tejto oblasti je z fakulty informatikz, však? A celkom ma fascinuje s akou noblesou píšeš raz česky, raz slovensky. Super! :)
OdpovědětVymazatVďaka :) no skôr som pohľadal informácie na internete, na informatike sme to mali len tak okrajovo spomenuté a potom ma zaujala táto téma na FF.
OdpovědětVymazatTento komentář byl odstraněn autorem.
OdpovědětVymazatJa som po česky písala iba v jednom príspevku a to z toho dovodu, že v slovenčine by to podľa mňa nemalo príznačnú hodnotu. Ale, nie som proti, i keď sa priznávam, že si svojou češtinou nie som ešte vobec istá.
OdpovědětVymazatDobře vysvětleno,kdybych nevěděl co to jsou fraktály a tak po tomto příspěvku bych to zaručeně věděl :-)
OdpovědětVymazatImho nejlepší z těch čtyř esejů na stejné téma, co tu jsou.
OdpovědětVymazatNa Mandenbrotovu počest byla pak v Brně taková akce, kde hráli fraktální hudbu. Taky hodně zvláštní záležitost http://www.youtube.com/watch?v=WNA5QNSro-8
Tento komentář byl odstraněn autorem.
OdpovědětVymazattaktiez si myslim ze toto bol najlepsi clanok o fraktaloch ..aj s najlepsimi obrazkami
OdpovědětVymazat