Fraktály

Fraktály a svet

          V poslednom čase  narastá publicita a popularita fraktálov. Ich použitie  je veľmi rôznorodé. Pre generovanie fraktálnych obrazcov sa používajú programové aplikácie. Pri dynamických systémoch a nelineárnych systémoch a ich teoretických štúdiách a aplikáciách možno využiť veľké množstvo poznatkov z fraktálnej geometrie  a samotných fraktálov. Fraktálna geometria je už rozsiahla vedná disciplína, ktorou sa zaoberali vedci už od 60-tych rokov 19. storočia, a zasahuje do mnohých ďalších vedných disciplín.

                Pomenovanie fraktál použil ako prvý v roku 1975 matematik Benoit Mandelbrot. Je to vedec poľského pôvodu, ktorý sa narodil 20. Januára 1924 vo Varšave. Študoval vo Francúzku pod vedením Gastrona Julii alebo Paula Léviho. Pracoval aj vo firme IBM ako programátor, kde študoval prenos a rozloženie chýb v prenášanom signáli. Prišiel na to, že sa chyby opakujú v určitých intervaloch, nezávisle na ich časovom určení. Tieto podobnosti si všimol aj pri štúdii cien na burze. Tieto pozorovania ho priviedli k tomu aby sa venoval bližšie fraktálom a ich popisu. Podarilo sa mu už tejto dobe popísať fraktály, ktoré sa  vyskytovali v prírode, pri prenose signálu, alebo rozložení hmoty vo vesmíre. Jeho najznámejšou knihou je ,, The Fractal Geometry of Nature“. Zo strany matematikou si zaslúžil mnoho kritiky hlavne kvôli kompozícii tejto knihy a štýlu písania. Využil v nej skôr porovnávanie ako zložité matematické vzorce a výpočty čo sa im veľmi nepáčilo. Jeho definícia fraktálov je najpopulárnejšia  a aj najviac uznávaná  v jeho obore, napriek tomu sú matematici ktorý s ním nesúhlasia. Popisuje fraktál ako množinu, ktorej Hansdorffova dimenzia je ostro väčšia ako jej topologická dimenzia. Stretol som sa aj s jednou verziou definície, ktorá je skôr určená pre širšiu verejnosť v ktorej sa popisuje fraktál ako útvar ktorého zväčšením dostaneme rovnaký obrazec bez ohľadu na mierku. Po tomto vedcovi je pomenovaný aj najznámejší fraktál – Mandelbrotova množina. Je to fraktál ktorý leží v komplexnej rovine a bol prezentovaný po prvý raz v roku 1979.

Mandelbrotova množina

Detail Mandelbrotovej množiny

fraktál v komplexnej rovine 

Okrem pojmu dimenzie pri popise abstraktných materiálov a prírodných útvarov s fraktálnou štruktúrou je dôležitá sebapodobnosť. Je to taká vlastnosť objektu, že jeho časti alebo objekty  vyzerajú podobne pri použití rôznej mierky alebo zväčšení. Na obrázku vidíme sebapodobnosť papradia. Mňa osobne fascinuje ako sa dá z jednoduchého útvaru len pomocou mierky a opakovania toho istého tvaru spraviť obrázok, alebo namodelovať tvar z prírody, z bežného života. 

Vo svete a spoločnosti  je známych veľa druhou fraktálov.  Najbežnejšie typy  fraktálov sú napríklad  L – systémy, IFS, dynamické systémy, náhodné  alebo prírodné fraktály. Teraz sa pokúsim popísať trochu ich jednotlivé princípy a ich použitia. Viem že som si vybral len asi to najobecnejšie delenie fraktálov. Pokiaľ by som chcel ale sem zahrnúť  viac ešte druhov tak by to bolo na dlho a mnohých  by to aj omrzelo.

Začal by som asi s najznámejším L- systémom, alebo celým pomenovaním Lindenmayerovým systémom. Dostal meno podľa biológa a botanika Aristida Lindenmayera.  Je to pravidelný prepisovací systém  formálnej gramatiky. Používa sa pri modelovaní vývinu rastlín, alebo v rôznych biologických operáciách.  Používa sa na generovanie rias, Fibonačiho čísiel, alebo generovanie  fraktálov ako je Kochova vločka. Kochova vločka je do seba uzavretá fraktálna krivka obklopujúca konečnú plochu, pričom samotná krivka je nekonečne dlhá. Patrí medzi jednu z prvých objavených fraktálnych kriviek. Pre lepšie predstavenie by som vám ju popísal ako snehovú vločku s veľmi členitými okrajmi. Vidíte zase sa dá fraktálom popísať ďaľší prírodný útvar.

Hilbertova krivka tvorená neprerušovanou­ líniou

Kochova krivka

Ako ďalší systém by som spomenul IFS (Itereted Function System ) teda systém iterovaných funkcií. Patrí tiež k spôsobom výstavby fraktálov. Fraktály sa tvoria pomocou afinných transformácií, ktoré prevádzajú s objektom  tri operácie ako je rotácia, zmena mierky a posuv. Tomuto fraktálu vravíme tiež  self- similar(self-podobný). Ich tvar sa skladá z niekoľkých prekrývajúcich sa, možno aj menších kópií seba samého a z ktorých je tiež ešte tvorená kópia. Medzi IFS fraktály patrí napríklad Rhomanova krivka, alebo Cantor (tretí obrázok). Vybral som si pár obrázkov na ktorých je vidno, že pri IFS ide o rotáciu, zmenu mierky a posuv jednotlivých častí. Prvý a posledný obrázok pripomínajú zase prírodné útvary ako je vetva, alebo možná koruna stromu. 

konár vytvorená pomocou IFS systému

Cantor

Dynamické systémy s fraktálnou štruktúrou tvoria skupinu fraktálov ktorá má v technickej praxi najväčšie uplatnenie. Dynamický model je závislý na niektorej nezávislej veličine väčšinou čase. Vychádza z počiatočných podmienok a je nimi v čase determinovaný. Stav v ľubovoľnom časovom okamihu je reprezentovaným vektorom, ktorý nazývame stavový vektor. Dynamické podmienky sú väčšinou zadané  sústavou diferenciálnych rovníc, ktoré reprezentujú zmenu stavového vektora v čase. Typickým príkladom dynamického systému s fraktálnou štruktúrou je výpočet populačného rastu. Z týchto systémov sú v počítačovej grafike známe Juliove množiny a Mandelbrotova množina.

Juliova množina v hyperkomplexnom priestore

Mandelbrotova množina

Pri popise dynamického systému a systému IFS sa môžeme stretnúť s pojmom atraktor. Atraktor dynamického systému je množina stavov do ktorých systém smeruje. Ide o množinu hodnôt, ktoré môže nadobudnúť stavový vektor dynamického stavu po dostatočne dlhom časovom úseku od začiatku impulzu. Predstavte si tieto obrázky tak ako keby ste si nastavili dlhú expozíciu na fotoaparáte a v noci vyfotili svetlá auta, ktoré ide popri vás. Výsledný efekt obrázku bude dosť podobný uvedeným príkladom.

Abstraktory sa delia do niekoľkých tried :

-          Množinu pevných bodov

-          Množinu periodických bodov

-          Množinu kváziperiodických bodov

-          Atraktor je chaotický

-          Strange atrakor

Strange atraktor

Strange atraktor

Pri náhodných fraktáloch  narozdiel od predchádzajúcich príkladov sa vnáša do algoritmu  náhoda.  Tým umožňuje lepší proces zobrazenia prírodných fraktálov. Pomáha vytvárať nesymetrické tvary. Náhodné fraktály sa dajú vytvoriť viacerými spôsobmi ako je napríklad pomocná simulácia Brownovho pohybu ktorá sa používa na simuláciu riek, ale nie je vhodná na 3D simulácie. Ďalšia metóda je posúvanie stredového bodu ktorá sa využíva v počítačovej grafike, alebo spektrálna syntéza. Mnoho prírodných útvarov  máme možnosť namodelovať pomocou fraktálnej geometrie, ako sú napríklad oblaky, snehové vločky, rieky. Často využívanými algoritmami na generovanie prírodných útvarov sú rekurzívne algoritmy. Známy je napríklad príklad organického fraktálu Romanesco.

fraktál Romanesco

stochastický fraktál 

Najširšie uplatnenie fraktálov a farktálnej geometrie nájdeme asi v počítačovej  grafike. Vedci pomocou počítačovej techniky môžu podrobne skúmať fraktály. Ale vývojom techniky sa ukázalo že nájsť nové spôsoby modelovania. V dnešnej spoločnosti sa využívajú asi tri rôzne spôsoby. Prvým spôsobom modelovania je modelovanie pomocou animátora. Sem patria programy typu CAD, CAM. Pri tomto druhu modelovania je problém namodelovať  zložitejšie objekty ako sú napríklad stromy. Z vlastnej skúsenosti viem že si to aj vyžaduje dostatočne veľkú zručnosť modelovať v týchto programoch, pokiaľ chceme dosiahnuť uspokujujúci konečný  vizuálny efekt. Druhý druh modelovania je skenovanie objektov. Jeho nevýhoda  je hlavne cena skenovacích prístrojov a obmedzenie použitia už aj kvôli veľkostiam skenovaných objektov. Pri tomto modelovaní mi hneď napadlo ako by som vopchal strom to toho skenera napriklad, alebo  ešte väčšie predmety. Je to pravdaže nemožné pri týchto predmetoch získať vynikajúce výsledky skenovania. Tretím spôsob je procedurálne modelovanie. Pri ktorom animátor zadáva spôsob, akým bude objekt modelovaný. Táto metóda má výhodu malého objemu počiatočných hodnôt dát, ale nevýhodou je nutnosť vybrať najlepšej metódy na generovanie množiny. Okrem použitia v počítačovej grafike sa fraktály používajú ako názorné ukážky k výučbe matematiky v školách, v populárnej kultúre, počítačom vytvorené plochy pre fotografovanie, alebo majú široké využitie vo filmovom priemysle. Tiež sa s nimi môžeme stretnúť napríklad v ekonomike, alebo pri predpovedi počasia, alebo v lekárstve pri modelovaní cievnej sústavy.

Po tomto nahliadnutí do základov, by som teraz použil jednu otázku o ktorej sa bavili spolužiaci na fakulte informatiky. Celá debata o fraktáloch začala ako vysvetlenie pojmu fraktál jednému študentovi, ktorý si to nevedel predstaviť. Pustili mu pár videí a pokúšali sa mu to vysvetliť. A potom padla otázka :,, Je úsečka fraktál? A má úsečka o dĺžke 10cm ozaj 10cm?“ Týmto impulzom asi začala tak hodinová diskusia medzi nimi. Na konci nevedeli nájsť spoločné stanovisko. Ich úvaha smerovala asi tak že pokiaľ budem približovať priamku viac a viac tak nájdem tam opakujúce sa objekty a tak z toho vyplýva že úsečka je fraktál. A pri odkazovaní na dĺžku úsečky vychádzali z tohto predpokladu a vraveli že jej hrana nie je úplne rovná že sa tam nájdu nerovnosti čo zmenia predpokladanú dĺžku 10cm. Keď si spomeniete veľmi sa to podobá na obdobu merania dĺžky pobrežia Anglicka a Južnej Afriky. Tak čo si myslíte je úsečka fraktál? Pokiaľ ste si odpovedali áno tak ste sa mýlili. Ja som si to tiež myslel keď som po prvý raz rozmýšľal nad touto otázkou, ale to bolo podľa mňa mojou nevedomosťou. Na internete sa mi podarilo nájsť ľahký, prehľadný  matematický dôkaz tvrdenia že úsečka nie je fraktál. Pokiaľ by vás zaujímal celý dôkaz pridal som ho k prílohám. Celá podstata dôkazu spočíva v tom, že topologickú dimenziu úsečky samozrejme poznáme z Euklidovskej geometrie a rovná sa jednej.  Hausdorffovu dimenziu sme si vypočítali a je tiež veľkosti jedna. A podľa definície fraktálu ktorá ho definuje ako množinu, ktorej Hansdorffova dimenzia je ostro väčšia ako jej topologická dimenzia vyplýva že úsečka nie je fraktálom, lebo Hausdorffova dimenzia sa tak rovná dimenzii topologickej.

Dúfam že si už aspoň trochu viete predstaviť čo sú to fraktály a že majú široké zastúpenie vo svete. Vo svete matematiky patria medzi asi najhorúcejšie a najfrekventovanejšie nové témy. Všade nás obklopujú  a môžeme sa s nimi stretnúť napríklad v ekonomike, pri predpovedi počasia, v grafike a takto by sa mohlo pokračovať ďalej a ďalej. Ako ste si asi všimli pokúsil som sa  poukázať aj na to že si fraktály môžeme všimnúť aj v prírode okolo nás. Ako prílohu som vám pridal pár videí o fraktáloch, tak dúfam že sa vám budú páčiť.

Prílohy:

  1.1Videá:

      Koch Snowflake Fractal

      Everything Is Fractal

      3D IFS fractal: Menger Sponge Zoom

      3D IFS Fractal : Sierpinski on Ice

      Fractal Zoom Mandelbrot Corner

      Psychedelic Kaleidoscope Fractal Animation

      Fractales en la naturaleza – prístup len cez vlastný účet

1.2Matematický dôkaz:

Vytvoríme úsečku, ktorá má jednotkovú dĺžku. Teraz túto úsečku rozdelíme na N dielov. To odpovie tomu, ako by sme sa na úsečku pozerali s N- násobným zväčšením. Mierka nové úsečky sa vypočíta nasledujúcim spôsobom:

s=1/N

kde s značí mierku a N je počet dielov, na ktoré sa teleso (v našom prípade úsečka) rozdelí. Pre Hausdorffovu dimenziu obecne platí nasledujúca podmienka:

Ns^D=1

Z toho vyplýva, že Hausdorffova dimenzia sa pre dané delenie N a danú mierku s vypočíta pomocou postupu:

Ns^D=1
log Ns^D=log 1
log N+log s^D=0
log N+D log s=0
D log s=-log N
D=(-log N)/log s
D=log N/log (1/s)

Po dosadení vyššie uvedeného vzťahu s=1/N do vzorce D=log N/log (1/s) dostaneme výsledok:

D=log N/log (1/s)=log N/log N=1

Topologickú dimenziu úsečky samozrejme poznáme z Euklidovské geometrie a rovná sa jednej. Hausdorffovu dimenziu sme si vypočítali a je tiež veľkosti jedna. A podľa definície fraktálu ktorá ho definuje ako množinu, ktorej Hansdorffova dimenzia je ostro väčšia ako jej topologická dimenzia vyplýva že úsečka nie je fraktálom, lebo Hausdorffova dimenzia sa tak rovná dimenzii topologickej.

                                                                                                                                         Vass Vojtech